Question

已知椭圆经过点，两焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点（A、B不是上下顶点），当以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）时，试问：直线l是否过定点，若过定点．求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer

（1）根据焦点为F1、F2，短轴的一个端点为D，且，可得△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c，再利用椭圆经过点，即可求得椭圆的方程；
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，利用以AB为直径的圆恒过定点P（0，1），可求l的方程；②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，代入椭圆方程，利用以AB为直径的圆恒过定点P（0，1），结合韦达定理，可得结论．
【解析】
（1）∵焦点为F1、F2，短轴的一个端点为D，且
∴△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c
∴a=
∴
∵椭圆经过点，
∴
∴b=1
∴
∴椭圆的方程为；
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程，可得
∴A（m，），B（m，-），
∵以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）
∴
∴（m，-1）•（m，--1）=0，
∴m=0
∴l：x=0；
②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0
△=16k2-8b2+8＞0，∴2k2＞b2-1
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=
∵以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）
∴
∴=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0
∴3b2-2b-1=0
∴或b=1
当b=1时，不符合题意；
当时，直线l恒过定点（0，-）．