Question

将4个半径都是R的球体完全装入底面半径是2R的圆柱形桶中，则桶的最小高度是    ．

Answer

关键弄清桶的取最小高度时，四个球如何放置．由题意知，小球要分两层放置且每层两个，则四个球心构成正四面体，并可求出相对棱的距离．很明显，圆柱的高=上层小球的上方半径R+相对棱间的距离+下层小球的下方半径R．
【解析】
由题意知，小球要分两层放置且每层两个，
令下层两小球的球心分别是A、B，上层两小球的球心分别是C、D．
此时，圆柱底面的半径=两小球半径的和，恰好使小球相外切，且与圆柱母线相切．
圆柱的高=上层小球的上方半径+AB与CD间的距离+下层小球的下方半径=2R+AB与CD间的距离．
令AB、CD的中点分别为E、F．很明显，四面体ABCD每条棱的长都是2R，容易求出：EC=ED、FA=FB，
由EC=ED、CF=DF，得：EF⊥CD．
由FA=FB、AE=BE，得：EF⊥AB．
∴EF是AB与CD间的距离，∴圆柱的高=2R+EF．
由勾股定理，有：CE2+AE2=AC2，CE2=EF2+CF2．
两式相减，消去CE，得：AE2=AC2-EF2-CF2，
∴EF2=AC2-AE2-CF2=（2R）2-R2-R2=2R2，∴EF=．
∴圆柱的高=2r+=（2+）R．
故答案为（2+）R．