Question

已知函数f（x）=[3ln（x+2）-ln（x-2）]
（I） 求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer

（I）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（Ⅱ）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=[-]=
∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得，又f（3）-f（7）=[3ln5-ln1]-[ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，∴F′（x）≥0恒成立
又F′（x）==
在f（x）的定义域（2，+∞）上，有（x-1）（x2-4）＞0恒成立．
∴F′（x）≥0⇔（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情况讨论（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x2+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①52+16（a-1）（a+1）≤0；
②2且（a-1）-22+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a2+9≤0，无解；由②得a≥-，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．