Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

Answer

（1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，可得b的值，利用离心率为，即可求得椭圆C的方程；
（2）设M，N的坐标分别为（x，y），（-x，y），求出直线PM、QN的方程，求得x，y的值，代入椭圆方程，整理可得结论．
（1）【解析】
由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，∴b==．
因为离心率e==，所以=，所以a=2．     
所以椭圆C的方程为．
（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x，y），（-x，y），则直线PM的方程为y=x+1，①
直线QN的方程为y=x+2．   ②…（8分）
设T（x，y），联立①②解得x=，y=．            …（11分）
因为，所以（）2+（）2=1．
整理得=（2y-3）2，所以-12y+8=4y2-12y+9，即．
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分）