Question

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC，只需证CD⊥平面ABC，在△BCD中，根据∠BCD=90°得证；
（2）存在λ=，使得平面BEF⊥平面ACD，只需证明λ=时，BE⊥平面ACD．
【解析】
（1）EF⊥平面ABC．
证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以BC⊥CD，
又AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC；
（2）存在λ=，使得平面BEF⊥平面ACD．
∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥CD
在直角△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=BDtan60°=，∴AC=
当BE⊥AC时，，AE=
∴
即λ=时，BE⊥AC
∵BE⊥CD，AC∩CD=C
∴BE⊥平面ACD
∵BE⊂平面BEF
∴平面BEF⊥平面ACD
∴存在λ=，使得平面BEF⊥平面ACD．