Question

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记=-λ•若在线段MN上取一点R，使得=λ•，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由△F1AF2是边长为2的正三角形，可得c=1，a=2，从而可求b，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，由=-λ•，确定λ的值，由=λ•，可得R的横坐标为定值，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵已知△F1AF2是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）
∴=
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），并设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线方程与椭圆方程联立，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0，则
△=144（1-4k2）＞0，x1+x2=，x1x2=  …（7分）
由=λ•，得-4-x1=λ（x2+4），故λ=-．…（9分）
设点R的坐标为（x，y），则由=-λ•得x-x1=-λ（x2-x），解得
==
==-1．…（13分）
故点R在定直线x=-1上．…（14分）