Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2008，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2008）=．

Answer

由题设条件，可根据题设中的两个不等式来限定f（2008）的取值范围，从而确定其值，
【解析】
由题意f（2008）≤f（2006）+3×22006≤f（2004）+3×（22006+22004）≤…≤f（0）+3×（22006+22004+…+2 2+2 0）=2008+3×=2007+22008①
f（2008）≥f（2002）+63•22002，≥f（1996）+63×（22002+21996）≥f（1990）+63（22002+21996+21990）≥…≥f（4）+63（22002+21996+21990+…+24）
=f（4）+63×=f（4）+22008-24  ②
又已知，又由f（x+2）-f（x）≤3•2 x，f（x+6）-f（x）≥63•2 x可得f（x+6）-f（x+2）≥60•2 x=15•2 x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2 x，
再由f（x+2）-f（x）≤3•2x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2 x+2，两者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15•2x，所以f（x+4）-f（x）=15•2x，
∴f（4）-f（0）=15•2=15
∴f（4）=f（0）+15=2008+15=2023，代入②
解得f（2008）≥2007+22008③
由①③得（2008）=2007+22008
故答案为：2007+22008