Question

如图，P是抛物线y²=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

Answer

设P（x，y），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y-b=，化简，得（y-b）x-xy+xb=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知，由此导出（x-2）b2+2yb-x=0，同理，（x-2）c2+2yc-x=0，所以（b-c）2=，从而得到S△PBC=，由此能求出△PBC面积的最小值．
【解析】
设P（x，y），B（0，b），C（0，c），设b＞c．
直线PB的方程：y-b=，
化简，得（y-b）x-xy+xb=0，
∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，
∴，
∴（y-b）2+x2=（y-b）2+2xb（y-b）+x2b2，
∵x＞2，上式化简后，得
（x-2）b2+2yb-x=0，
同理，（x-2）c2+2yc-x=0，
∴b+c=，bc=，
∴（b-c）2=，
∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴，
∴（b-c）2=，b-c=，
∴S△PBC=
=
=（x-2）++4
≥2+4=8．
当且仅当时，取等号．
此时x=4，y=．
∴△PBC面积的最小值为8．