Question

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a=c，．
（I）求sinB的值；
（II）若D为AC中点，且△ABD的面积为，求BD长．

Answer

（I）△ABC中，求得sinC=，再由2a=c利用正弦定理可得sinA=，由a＜c 可得A为锐角，cosA=，再由 sinB=sin（A+C），利用角和的正弦公式求得sinB 的值．
（II） sinB=sinC，可得 b=c． 再由△ABD的面积为 求得 c=2，再利用余弦定理求出BD的值．
【解析】
（I）△ABC中，由可得sinC=，再由2a=c利用正弦定理可得
2sinA=sinC=•，故sinA=．
由a＜c 可得A＜C，∴A为锐角，故 cosA=．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=．
（II）若D为AC中点，∵sinB=sinC，∴b=c． 再由△ABD的面积为==，
求得 c=2．
由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2-2AB•AD cosA=22+12-2×2×1×，解得 BD=．