Question

己知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，且S₁，S₃，S₂成等差数列．
（I）求公比q；
（Ⅱ）若，，问数列{T_n}是否存在最大项？若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）本题先根据等比数列的通项公式得a2=a1q，a3=a1q2；进而由前n项和的意义可表示出S1=a1，S2=a1+a1q，S3=a1+a1q+，再利用等差数列的意义可得2S3=S1+S2，于是 2（a1+a1q+）=a1+（a1+a1q），由此方程不难求出公比q=；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式=，于是==，进而可求出==，再根据指数函数的单调性求出其最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴a2=a1q，．
∴S1=a1，S2=a1+a1q，．
又∵S1，S3，S2成等差数列，
∴2S3=S1+S2，∴2（a1+a1q+）=a1+（a1+a1q），
∵a1≠0，∴2（1+q+q2）=2+q，∴2q2+q=0，
又∵q≠0，∴．
（Ⅱ）∵，q=，
∴=，
∴==，
∴==，
∵2n+1-2≥2，
∴Tn≤T1=．
所以数列{Tn}的最大值为．