Question

已知函数f（x）=（x²-ax+1）•e^x．
（I）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）对任意b＞0，f（x）在区间[b-lnb，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（I）确定切点的坐标，求得切线的斜率，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）先将对任意b＞0，f（x）在区间[b-lnb，+∞）上是增函数，转化为f（x）在[1，+∞）上是增函数，再分类讨论，即可确定实数a的取值范围．
【解析】
（I）当a=3时，f（x）=（x2-3x+1）•ex，∴f′（x）=（x2-x-2）•ex．
∴f′（1）=-2e；
∵f（1）=-e
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+e=-2e（x-1），即2ex+y-e=0；
（II）f′（x）=（x+1）（x+1-a）•ex．
记g（x）=x-lnx（x＞0），则g′（x）=
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）是减函数
∴g（x）min=g（1）=1-ln1=1
∵对任意b＞0，f（x）在区间[b-lnb，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
当a-1≤1，即a≤0时，显然成立；
当a-1＞-1，即a＞0时，必修a-1≤1，即0＜a≤2
综上，实数a的取值范围为a≤2．