Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，且f（5+x）=f（5-x），在[0，5]上只有f（1）=0，则f（x）在[-2012，2012]上的零点个数为（ ）
A．804
B．805
C．806
D．808

Answer

确定函数关于直线x=5对称且以10为周期，利用函数在[0，5]上只有f（1）=0，可得在[0，10]上有两个零点，由此可得结论．
【解析】
∵f（5+x）=f（5-x），∴函数关于直线x=5对称，f（10+x）=f（-x），
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，∴f（10+x）=f（x），即函数以10为周期
∵在[0，5]上只有f（1）=0，∴在[0，10]上有两个零点
∵2012=201×10+2
∴f（x）在[0，2012]上的零点的个数为403
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，
∴f（x）在[-2012，2012]上的零点的个数为806
故选C．