Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是线段AC的中点．
（1）判断直线B₁P与平面A₁C₁D的位置关系并证明；
（2）若F是CD的中点，AB=BC=1，且四面体A₁C₁DF体积为，求三棱锥F-A₁C₁D的高．

Answer

（1）B1P∥平面A1C1D．连接AB1与B1C，由题设条件知：四边形AA1C1C是平行四边形，由此能够证明B1P∥平面A1C1D．
（2）设DD1=a，F到平面A1C1D的距离为h，由，得a=，由此能够求出点F到平面A1C1D的距离．
【解析】
（1）B1P∥平面A1C1D．
证明：连接AB1与B1C，
由题设条件知：四边形AA1C1C是平行四边形，
∴A1C1∥AC，同理A1D∥B1C，

∵AB1∩B1C=B1，
∴平面ACB1∥平面A1C1D，
∴B1P∥平面A1C1D．
（2）设DD1=a，F到平面A1C1D的距离为h，
由===，
a=，
作DN⊥A1C1于N，
∵A1C1=，，
∴DN====，
由===，
∴h=，
∴点F到平面A1C1D的距离是．