Question

已知椭圆经过点P，两焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l恒过点，且交椭圆C于A、B两点，证明：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

Answer

（1）由题意知△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c，得a=，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T（0，1）．当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，由，得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，由TA⊥TB，知以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），由此能够证明以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．
【解析】
（1）由题意知△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c，
∴a=，
∴，
∵椭圆过点P（-1，-），代入方程，得b=1，
∴a=，故所求椭圆方程为．
（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，
此圆显然过点T（0，1）．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，
由，消去y，得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
∵，，
∴=x1x2+（y1-1）（y2-1）
=
=
=（1+k2）•，
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），
综上所述，以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．