Question

已知函数f（x）=e^x-ax．
（1）若a=e，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）≥1对x∈R恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说出理由．

Answer

（1）由f（x）=ex-ax，知f′（x）=ex-e，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论得到f（x）在（-∞，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）f（x）≥1对x∈R恒成立等价于ex-ax-1≥0对x∈R恒成立，令g（x）=ex-ax-1，得g（0）=0，g′（x）=ex-a，当a=1时，g′（0）=0，由此入手进行讨论能够导出存在实数a=1，使f（x）≥1对x∈R恒成立．
【解析】
（1）∵f（x）=ex-ax，
∴f′（x）=ex-e，由f′（x）=0，得x=1，

 x  （-∞，1）  1  （1，+∞）
 f′（x） -  0 +
 f（x） ↓  极大值 ↑

∴f（x）在（-∞，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）f（x）≥1对x∈R恒成立等价于ex-ax-1≥0对x∈R恒成立，
令g（x）=ex-ax-1，得g（0）=0，g′（x）=ex-a，
当a=1时，g′（0）=0，
x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
g（x）在x=0取得极小值，g（x）≥g（0）=0，g（x）≥0恒成立，
当a＞1时，g（x）在[0，lna]单调递减，当x∈[0，lna]时，g（x）≤g（0）=0，
当0＜a＜1时，g（x）在[lna，0]单调递增，当x∈[lna，0]时，g（x）≤g（0）=0，
当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）在R上单调递增，当x≤0时，g（x）≤g（0）=0．
∴存在实数a=1，使f（x）≥1对x∈R恒成立．