Question

已知数列{a_n}满足：a₁+++…+=n²+2n（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和．若对任意n∈N^*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）当n≥2时，a1+++…+=n2+2n，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）当λ=4时，an=（2n+1）•4n-1，若存在ar，as，at成等比数列，可得得（2r+1）（2t+1）4r+t-2s=（2s+1）2，从而可得（r-t）2=0，与r≠t矛盾；
（3）同乘公比，利用错位相减法求数列的和，再分类讨论，利用（1-λ）Sn+λan≥2λn恒成立，即可求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）当n=1时，a1=3．
当n≥2时，a1+++…+=n2+2n，①
∴a1+++…+=（n-1）2+2（n-1）．    ②
①-②得：=2n+1，所以an=（2n+1）•λn-1，（n≥2）．
因为a1=3，所以an=（2n+1）•λn-1 （n∈N*）． …（4分）
（2）当λ=4时，an=（2n+1）•4n-1．
若存在ar，as，at成等比数列，则[（2r+1）•4r-1][（2t+1）•4t-1]=（2s+1）2•42s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）4r+t-2s=（2s+1）2．…（6分）
由奇偶性知r+t-2s=0，所以（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）2，即（r-t）2=0．
这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．…（8分）
（3）Sn=3+5λ+7λ2+…+（2n+1）λn-1．
当λ=1时，Sn=3+5+7+…+（2n+1）=n2+2n．
当λ≠1时，Sn=3+5λ+7λ2+…+（2n+1）λn-1，
λSn=3λ+5λ2+…+（2n-1）λn-1+（2n+1）λn．
两式相减可得（1-λ）Sn=3+2（λ+λ2+λ3++…+λn-1）-（2n+1）λn=3+2×-（2n+1）λn． …（10分）
要对任意n∈N*，都有（1-λ）Sn+λan≥2λn恒成立，
①当λ=1时，左=（1-λ）Sn+λan=an=2n+1≥2，结论显然成立；
②当λ≠1时，左=（1-λ）Sn+λan=3+2×-（2n+1）λn+λan
=3+2×=-．
因此，对任意n∈N*，都有≥•λn恒成立．
当0＜λ＜1时，只要≥λn对任意n∈N*恒成立，只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．
因此，当0＜λ＜1时，结论成立．        …（14分）
当λ≥2时，≥•λn显然不可能对任意n∈N*恒成立．
当1＜λ＜2时，只要≤λn对任意n∈N*恒成立，只要有≤λ即可，解得1≤λ≤．
因此当1＜λ≤时，结论成立．
综上可得，实数λ的取值范围为（0，]．      …（16分）