Question

（选做题：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
（A）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线一点，CD切半圆于D，，垂足为E，且E是OB的中点，则半圆的半径长为    ．
（B）在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为5，直线被圆截得的弦长为8，则α的值等于    ．

Answer

（A）连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，OE=OB=，可得∠ODE=30°．在Rt△0DC中，由∠DCO=30°、DC=，利用直角三角形中的边角关系求出半径OD的值．
（B）设出圆上任一点的极坐标，利用两点间的距离公式表示出|PC|的长，让其值等于圆的半径5，即可得到圆C的极坐标方程，把直线方程代入圆C的方程，得到一个关于ρ的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出直线被圆截得的弦长，将两根之和与两根之积代入后，然后其值等于8，即可求出sinα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α的值．
【解析】
（A）如图连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，∵E是OB的中点，ρ1-ρ2                                      
∴OE=OB=，所以∠ODE=30°．
再由△DOE∽△COD可得，在Rt△ODC中，∠DCO=30°．
∵DC=，∴OD=DC•tan30°==1，
故答案为 1．
（B）设圆C上任一点坐标为P（ρ，θ），圆心C（6，），圆的半径r=5，
所以|PC|==5，化简得：ρ2-12ρsinθ+11=0，即为圆C的极坐标方程，
把直线θ=α代入圆C的方程得：ρ2-12ρsinα+11=0．
设直线与圆交于（ρ1，α1）（ρ2，α2），根据韦达定理得：ρ1+ρ2=12sinα，ρ1ρ2=11，
所以直线被圆截得的弦长m=|ρ1-ρ2|===8，
即 （12sinα）2=64+44，化简得：sin2α=，解得sinα=．
又α∈[0，]，则α=，
故答案为  ．