Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁==3，AB=2，BC=1．
（1）证明：BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）D为CC₁中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁，证明你的结论．
（3）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小．

Answer

（1）先证明BC⊥AC，由AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用线面垂直的判定，可得结论；
（2）分别取BB1中点M和AB中点E，可得平面EMD∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面ABB1的一个法向量=（），是平面AB1C1的一个法向量，且与二面角B-AB1-C1的大小相等，从而可求二面角B-AB1-C1的余弦值的大小．
（1）证明：在矩形ACC1A1中，AA1==3，AB=2，BC=1
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥BC
∵AA1∩AC=A
∴BC⊥平面ACC1A1；
（2）【解析】
分别取BB1中点M和AB中点E，由DM∥B1C1，EM∥AB1，得平面EMD∥平面AB1C1，∴DE∥平面AB1C1，
即E为AB中点时，DE∥平面AB1C1；
（3）【解析】
以C为坐标原点，CB，CC1，CA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0，），C1（0，，0），B1（1，，0），A1（0，，），D（0，，0）
设是平面ABB1的一个法向量
由可得，∴可取=（）
∵是平面AB1C1的一个法向量，且与二面角B-AB1-C1的大小相等
∴cos==-
∴所求二面角B-AB1-C1的余弦值的大小为-．