Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．

Answer

（1）结合已知，可求a，c，由b2=a2-c2可求b，进而可求椭圆方程
（2）由题意可知0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，根据y1+y2=k（x1+x2-2），从而可求B的中点为M，由|AC|=|BC|可得kCM•kAB=-1可得m，k之间得关系，结合m的范围可求k
【解析】
（1）因为，所以，（4分）
∴b=1，椭圆方程为：                 （6分）
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），
代入，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，  ①，（10分）
y1+y2=k（x1+x2-2）=
设AB的中点为M，则M（），
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1
∴
∴（1-2m）k2=m
∴当时，，即存在这样的直线l
当，k不存在，即不存在这样的直线l           （15分）