Question

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）求二面角A-PF-E的正切值．

Answer

（I）取BP中点G，连EG，由E为PC中点，由三角形的中位线定理，结合F为OD中点，易得EG与OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形，进而EF∥GO，由线面平行的判定定理可得EF∥平面PBO；
（Ⅱ）连CO，OP，过E作EN⊥OP于N，过N作NH⊥PF于H，由二面角的定义，可得∠NHE为二面角A-PF-E的平面角，解三角形NHE，即可求出二面角A-PF-E的正切值．
解（Ⅰ）证明：取BP中点G，连EG，由E为PC中点
故EG=BC，且EG∥BC
又∵F为OD中点
∴OF=BC=OD，且OF∥BC∥OD
∴EG与OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形
∴EF∥GO则EF∥面PBO
（Ⅱ）连CO，OP，则BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD
∴CO⊥面APD
故面COP⊥面APD
过E作EN⊥OP于N，则EN⊥面APD
过N作NH⊥PF于H，连EH，
则EH⊥PF，故∠NHE为二面角A-PF-E的平面角
由于E为PC中点，故EN=CO=AB=1
∵∠APD=90°，AD=4，PD=2
由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PF⊥AD
从而NH∥OD又N是DP的中点∴H为PF的中点
∴NH=OF=
∴tan∠NHE==2
∴二面角A-PF-E平面角的正切值为2．