如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P...

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

（I）连接DP、AC1，在△ABC1中根据中位线定理，得DP∥AC1，结合线面平行的判定定理，得DP∥平面ACC1A1；（II）过点D作DE⊥BC于E，结合DE∥CC1且DE=CC1，得三棱锥B-CDP的高DE=，结合△BCP的面积和锥体体积公式，可算出三棱锥B-CDP的体积．【解析】（I）连接DP、AC1， ∵△ABC1中，P、D分别为AB、BC1中点 ∴DP∥AC1， ∵AC1⊆平面ACC1A1，DP⊈平面ACC1A1， ∴DP∥平面ACC1A1 （II）由AP=3PB，得PB=AB= 过点D作DE⊥BC于E，则DE∥CC1且DE=CC1 又∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP ∵CC1=3，∴DE= ∵S△BCP=×2××sin60°= ∴三棱锥B-CDP的体积v=××=

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等