Question

设A、B、C分别是复数Z=ai，Z₁=+bi，Z₂=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．
证明：曲线：Z=Zcos⁴t+2Z₁cos²tsin²t+Z₂sin⁴t  （t∈R）与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．

Answer

首先把三个复数代入曲线，整理后得出曲线的形状，然后设出AC中点，求出对应的中位线方程，和抛物线联立解交点．
证明：曲线方程为：z=aicos4t+（1+2bi）cos2tsin2t+（1+ci）sin4t
=（cos2tsin2t+sin4t）+i（acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t）
所以x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t（0≤x≤1）
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a（1-x）2+2b（1-x）x+cx2
即y=（a-2b+c）x2+2（b-a）x+a（0≤x≤1）①
若a-2b+c=0，则Z、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a-2b+c≠0．
于是此曲线为对称轴与x轴垂直的抛物线．
设AB中点M：，BC中点N：
与AC平行的中位线经过M及N两点，
其方程为4（a-c）x+4y-3a-2b+c=0（），
令4（a-2b+c）x2+8（b-c）x+4a=4（c-a）x+3a+2b-c，
即4（a-2b+c）x2+4（2b-a-c）x+a-2b+c=0，
由a-2b+c=0，得4x2+4x+1=0，此方程在内有唯一解，
以代入①得，
所以，所求公共点坐标为（，．