Question

如图，在△ABC中，已知，，D为BC边上一点．
（Ⅰ）若，求BC的长；
（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的取值范围．

Answer

由正弦定理可得，可得AB=4sinC，BC=4sinA
（I）由，结合三角形的面积公式可得sinCsinA=，结合A+C=120°及两角差的正弦公式可求C，A代入即可求解BC
（II）由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=4sinA+2，结合正弦函数的性质可求
【解析】
∵，
∴A+C=120°即A=120°-C
由正弦定理可得，==4
∴AB=4sinC，BC=4sinA
（I）∵
∴
∴4sinC•4sinA×=4
∴sinCsinA=
∴sinCsin（120°-C）=
∴
∴sin2C-
即sin（2C-30°）=
∴2C-30°=30°或150°
∴或
当A=90°时，BC=4sinA=4
当A=30°时，BC=4sinA=2
（II）∵AD=AB，B=60°
∴A＞60°
∵AD=AB=4sinC，BC=4sinA
∴CD=4sinA-4sinC
周长l=AD+AC+DC=4sinA+2
∵60°＜A＜120°
∴sinA≤1
∴2l