Question

已知数列{a_n}的首项a₁=4，且当n≥2时，a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，数列{b_n}满足（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，都有，求实数t的取值范围．

Answer

（I）要证明数列{bn}是等差数列，只要证明bn-bn-1==d（d常数），结合等差数列的通项公式可求bn
（II）结合（I）可求=，然后结合数列的单调性可求cn的最大值，然后由恒成立，则只要，解不等式可求
（I）证明：∵，an-1an=4an-1-4
∴bn-bn-1==
=-=-
∵a1=4
∴=-
∴数列{bn}是以为首项，以为公差的等差数列6
∴，an=2
（II）∵=
则由cn+1-cn==＞0可得n＜4
∴c1＜c2＜c3＜c4＞c5＞c6＞…＞cn
∴故cn有最大值c4=
又∵恒成立，
∴
∴t或t