Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的 正切值为，若二面角E-AF-C的余弦值为，求的值．

Answer

（Ⅰ）先根据条件得到△ABC为正三角形，结合E为BC的中点以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（Ⅱ）以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定平面AFC、平面AEF的法向量，根据二面角E-AF-C的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

设AB=2，=λ，则A（0，0，0），B（，-1，0），D（0，2，0）
E（，0，0），
过A作AH⊥PD，垂足为H，连接AH，则∠AHE为EH与平面PAD所成最大角，
∵EH与平面PAD所成最大角的正切值为，AE=
∴AH=，∴DH=，∴PD=
∴PA=
∴P（0，0，），F（），=（，-3，0）为平面AFC的一个法向量
设平面AEF的法向量为，则，即
∴可取
∵二面角E-AF-C的余弦值为，
∴
∴
∴=．