Question

已知椭圆，抛物线，过椭圆C₁右顶点的直线l交抛物线C₂于A，B两点，射线OA，OB分别与椭圆交于点D，E，点O为原点．
（Ⅰ）求证：点O在以DE为直径的圆的内部；
（Ⅱ）记△ODE，△OAB的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l使S₂=3S₁？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x=my+2，代入y2=4x，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，y1y2，要证明点O在以DE为直径的圆的内部；只要证明即可
（2）设D（x3，y3），E（x4，y4），则射线，代入得，同理可得，代入检验即可验证
（1）证明：设直线l：x=my+2，代入y2=4x得y2-4my-8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴y1+y2=4m，y1y2=-8，x1x2=（my1+2）（my2+2）=m2y1y2+2m（y1+y2）+4
∴=
∴∠AOB＞90°即∠DOE＞90°
∴点O在以DE为直径的圆的内部
（2）设D（x3，y3），E（x4，y4）
则射线，代入得，
同理
∴===
=
=
==9
∴m2=
故不存在满足条件的直线l