Question

如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E．AD⊥DC，D为垂足．
（1）求证：A、D、F、B四点共圆；
（2）求证：EF=FB．

Answer

（1）由FB是圆O的切线，知∠ABF=90°，由AD⊥DC，知∠ADF=90°，由此能够证明A，D，F，B四点共圆．
（2）连接BC，则BC⊥AC，由DF是半圆的切线，知∠DCA=∠ABC，由∠DCA=∠ECF，知ECF=∠ABC，在Rt△ABE中，BC⊥AE，∠ECF=∠E，EF=FC，由FC，FB是半圆的切线，能够证明EF=FB．
证明：（1）∵FB是圆O的切线，
∴∠ABF=90°，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADF=90°，
∴A，D，F，B四点共圆．
（2）连接BC，则BC⊥AC，
∵DF是半圆的切线，
∴∠DCA=∠ABC，
∵∠DCA=∠ECF，
∴ECF=∠ABC，
在Rt△ABE中，BC⊥AE，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ECF=∠E，∴EF=FC，
∵FC，FB是半圆的切线，
∴FC=FB，
∴EF=FB．