Question

已知不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集为R，a为c的最大值，则曲线y=x³在点（a，b）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．18
C．
D．24+12

Answer

由题意求出a=2，曲线y=x3在点（a，b）处的切线斜率，把点（a，b）代入曲线y=x3可得b=8，用点斜式求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点，从而求得切线与两个坐标轴围成的三角形的面积．
【解析】
不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集为R，而|x-1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到1和3的距离之和，
其最小值为2，故有c≤2．
又a为c的最大值，则a=2．
由于曲线y=x3在点（a，b）处的切线斜率为3x2|x=2=12，把点（a，b）代入曲线y=x3可得b=8，
故曲线在点（2，8）处的切线方程为 y-8=12（x-2），即 12x-y-16=0，
求得切线和坐标轴的交点坐标为（0，-16）、（，0），
故切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 =，
故选A．