Question

已知函数f（x）=x⁴-x³+ax²-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）已知函数，求证：g（x）与函数f（x）的图象恰有1个交点．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x4-x3+ax2-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增，可得函数在x=2处取得极值，即f′（2）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x4-4x3+（4-b）x2，证明x=0时，函数F（x）取得极小值，且F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）恒成立，从而可得结论．
（Ⅰ）【解析】
求导函数可得f′（x）=4x3-3x2+2ax
∵函数f（x）=x4-x3+ax2-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增．
∴函数在x=2处取得极值
∴f′（2）=0，即32-12+4a=0，∴a=-5
（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x4-4x3+（4-b）x2，则F′（x）=4x3-12x2+2（4-b）x，
令F′（x）=0，即4x3-12x2+2（4-b）x=0，∴x=0或2x2-6x+（4-b）x=0
∵b＜-，
∴2x2-6x+（4-b）x=0的判别式△=4（1+2b）＜0，
∴当x∈（-∞，0）时，F′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；
∴x=0时，函数F（x）取得极小值，且F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）恒成立
∴F（x）=0只有一个实数解
∴g（x）与函数f（x）的图象恰有1个交点．