Question

数轴上有一列点，已知当n≥2时，点是把线段等分的分点中最靠近的点，设线段的长度分别为，其中．
（Ⅰ）写出的表达式；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）设点，在这些点中是否存在两个点同时在函数的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）依题意当n≥2时，Pn-1Pn=（n-1）PnPn+1，结合已知可得an与an-1的递推公式，结合，代入即可求解
（Ⅱ）由（I）可知，，利用放缩法，结合等比数列的求和公式可证
（Ⅲ）先假设存在两个点都在函数的图象上，把点的 坐标代入可得，然后进行推理，即可判断
【解析】
（Ⅰ）依题意当n≥2时，有，
∵，
∴，，
故．
（Ⅱ）证明：因为当n≥2时，，
∴
故，
而显然成立，
故；
（Ⅲ）证明：假设存在两个点（其中p≠q，p，q∈N*，p＞2，q＞2）都在函数的图象上，
∴，
即，
，
∴，
∴不成立，故不存在满足题设条件的两个点．