Question

在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有    颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为    颗．（结果用n表示）

Answer

由题意可知a1，a2，a3，a4，a5的值，则a2-a1=5，a3-a2=9，a4-a3=13，a5-a4=17，猜想a6-a5=21，从而得a6的值和an-an-1=4n-3；所以（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+（a6-a5）+…+（an-an-1）=an-a1求得通项公式an，从而求得前n项和sn．
【解析】
由题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；
∴a2-a1=5，a3-a2=9，a4-a3=13，a5-a4=17，a6-a5=21，…，an-an-1=4n-3；
∴（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+（a6-a5）+…+（an-an-1）
=an-a1=5+9+13+17+21+…+（4n-3）==2n2-n-1；
∴an=2n2-n，其前n项和为sn=2（12+22+32+…+n2）-（1+2+3+…+n）
=2×-=．
故答案为：66，．