Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB=2，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC．
（1）若H是BB₁的中点，证明：DH∥D₁E；
（2）求三棱锥A-CDE的体积；
（3）求二面角E-AC-D₁的大小．

Answer

（1）证明DH⊥面D1AC，利用D1E⊥面D1AC，可得DH∥D1E；
（2）证明四边形DD1HE是平行四边形，棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积，即可求得结论；
（3）建立直角坐标系，确定E的坐标，求出平面EAC的法向量，平面D1AC的法向量为=（0，2，1），利用向量的夹角公式，可求二面角E-AC-D1的大小．
（1）证明：连接BD交AC于O，

在矩形BDD1B1中，O是BD的中点，H是BB1的中点
∴，∴∠HDB=∠DD1O，∴
∵AC⊥平面BDD1B1，DH⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥DH
∵AC∩D1O=O
∴DH⊥面D1AC，
又∵D1E⊥面D1AC，∴DH∥D1E；
（2）【解析】
由（1）知DH∥D1E，
∵DD1∥EH，∴四边形DD1HE是平行四边形
∴EH=DD1=2，∴BE=3
∵AB∥CD，∴三棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积
∵∠BAD=60°，AB=2，∴D到平面BC1的距离为
∴D-BCE的体积等于=
∴三棱锥A-CDE的体积等于；
（3）【解析】
建立如图所示的直角坐标系，则A，B（0，1，0），C（-，0，0），D（0，-1，0），D1（0，-1，2）
设E（0，1，2+h），则=
∵D1E⊥面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）
∴
设平面EAC的法向量为
由，可得，令z=-1，则
∵平面D1AC的法向量为=（0，2，1）
∴cos＜＞===
∴二面角E-AC-D1的大小为45°．