Question

设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97²，则这样的数列共有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

设首项为a，公差为d，项数为n，则各项和为na+n（n-1）d=972，所以n[2a+（n-1）d]=2×972，即n为2×972的大于3的约数．由于数列的首项及公差均为非负整数分类讨论可得答案．
【解析】
设首项为a，公差为d，项数为n，则各项和为na+n（n-1）d=972，
所以n[2a+（n-1）d]=2×972，即n为2×972的大于3的约数．又2×972的大于3的约数共有1、2、97、2×97、972、2×972分别进行讨论：
（1）若n=972，则2a+（972-1）d=2，由于数列的首项及公差均为非负整数，若d=0，可得a=1；若d≥1则a＜0不合题意，故有一解；
（2）同理若n=97，则2a+96d=194，若d=0，则a=97；若d=1，则a=49；d若=2，则a=1．故有三解；
（3）同理若n=2×97，或n=2×972，无解．
（4）若n=1，或2时，n＜3不合题意．故符合题意的共4种情况．
故选C