Question

设a=lgz+lg[x（yz）^-1+1]，b=lgx^-1+lg（xyz+1），c=lgy+lg[（xyz）^-1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为    ．

Answer

化简a、b、c，利用基本不等式求得a+c≥2lg2，可得a、c 中至少有一个大于或等于lg2，故有M≥lg2．当x=y=z=1时，
a=b=c=lg2，此时，M=lg2，综上可得M的最小值．
【解析】
∵a=lgz+lg[x（yz）-1+1]=lgz+lg（+1）=lg（），b=lg（yz+），c=lg（+y），
∴a+c=lg（）（+y）=lg（+x++yz）≥lg（2+2）=2lg2，当且仅当x=1，且yz=1时取等号．
故a、c 中至少有一个大于或等于lg2，故有M≥lg2．
但当x=y=z=1时，a=b=c=lg2，此时，M=lg2．
综上可得，M的最小值为lg2，
故答案为 lg2．