Question

设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

Answer

由x，y，z的大小关系，及x+y+z=，得到x的范围，且用x表示出y+z，将所求式子后两项利用积化和差公式化简，再利用诱导公式变形，根据cosxsin（y-z）≥0，及余弦函数为减函数，利用特殊角的三角函数值化简，求出所求式子的最小值；同理将所求式子前两项结合，利用积化和差公式化简，再利用诱导公式变形，根据sin（x-y）≥0，cosz＞0，及余弦函数为减函数，即可求出所求式子的最大值．
【解析】
∵x≥y≥z≥，且x+y+z=，
∴≤x≤-×2=，y+z=-x，
∵≤x≤，y≥z，
∴cosxsin（y-z）≥0，
∴cosxsinycosz
=cosx×[sin（y+z）+sin（y-z）]
=cosx×[cosx+sin（y-z）]
=cos2x+cosxsin（y-z）≥cos2x═cos2=，
当y=z=，x=时，cosxsinycosz取得最小值，最小值为，
∵sin（x-y）≥0，cosz＞0，
∴cosxsinycosz
=cosz×[sin（x+y）-sin（x-y）]
=cos2z-coszsin（x-y）≤cos2z==（1+cos）=，
当x=y=，z=时取得最大值，最大值为．