Question

设非零复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅满足

其中S为实数且|S|≤2．
求证：复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

Answer

设=q，由题设条件，得a1（1+q+q2+q3+q4）=（1+q+q2+q3+q4），故（q4-4）（1+q+q2+q3+q4）=0，所以=±2，或1+q+q2+q3+q4=0．由此进行分类讨论，能够证明复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
证明：设=q，
由题设条件，得a1（1+q+q2+q3+q4）=（1+q+q2+q3+q4），
∴（q4-4）（1+q+q2+q3+q4）=0，
∴=±2，或1+q+q2+q3+q4=0．
①若=±2，则，
∴S==±2[（q++）2-]，
∴由已知条件得（q++）2-∈R，且|（q++）2-|≤1．
令q++=h（cosθ+isinθ），则，
∴sin2θ=0．
-1≤h2（cos2θ+isin2θ）-≤1，
∴，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
则q+=（r+）cosα+i（r-）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，则q=±r为实数，
此时q+≥2，或q+≤-2．
此时，q+≥5，或q+．
此时，由|（q++）2-|≤1，知q=-1，|a1|=2．
若r=1，仍有|a1|=2，故此五点在同一圆上．
②若1+q+q2+q3+q4=0，则|q|=1，
此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，
故此五点共圆．
综上，复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．