Question

以下正确命题的个数为（ ）
①命题“存在x∈R，2^x0≤0”的否定是：“不存在x∈R，2^x0＞0”；
②函数f（x）=-（）^x的零点在区间（，）内；
③若函数f（x）满足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），则f（1）+f（2）+…+f（10）=1023；
④函数f（x）=e^-x-e^x切线斜率的最大值是2．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①命题“存在x∈R”的否定是：“∀x∈R”，“2x0≤0”的否定是“2x0＞0”，由此能求出结果；
②由f（x）=-（）x，知f（）•f（）＜0，故函数f（x）=-（）x的零点在区间（，）内；
③由f（x）满足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），知f（1）+f（2）+…+f（10）=1+2+22+23+24+…+29，由等比数列前10项和公式能求出结果．
④先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最大值，即得到曲线斜率的最大值．
【解析】
①命题“存在x∈R，2x0≤0”的否定是：“∀x∈R，2x0＞0”，故①不正确；
②∵f（x）=-（）x，
∴f（）=-（）＜0，
f（）=（）-（）＞0，
∴函数f（x）=-（）x的零点在区间（，）内，故②正确；
③∵f（x）满足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），
∴f（2）=2f（1）=2，
f（3）=2f（2）=22，
f（4）=2f（3）=23，
f（5）=2f（4）=24，
…
f（10）=2f（9）=29，
∴f（1）+f（2）+…+f（10）
=1+2+22+23+24+…+29
=
=1023，故③正确；
④∵f（x）=e-x-ex，∴f'（x）=-ex-，
∴函数f（x）=e-x-ex切线斜率k=f'（x）=-ex-=-（ex+）≤-2=-2，
当且仅当ex= 时，等号成立．
∴函数f'（x）=-ex-，的切线斜率的最大值为-2．故④不正确．
故选B．