Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．
（1）证明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长．

Answer

（1）由题设知，F（，0），C（-，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+，代入抛物线方程y2=2px求得y2-2pmy-p2=0，由韦达定理可求得y1+y2=2pm，y1y2=-p2，
从而可求得tan∠ACF=tan∠BCF；
（2）设y1＞0，利用基本不等式可求得tan∠ACF=≤=1，当且仅当y1=p时取等号，从而可得∠ACF取最大值，继而可求∠ACB取得最大值时线段AB的长．
证明：（Ⅰ）由题设知，F（，0），C（-，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+，
代入抛物线方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0．
y1+y2=2pm，y1y2=-p2．…（4分）
不妨设y1＞0，y2＜0，则
tan∠ACF=====，
同理可得tan∠BCF==，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF=≤=1，当且仅当y1=p时取等号，
此时∠ACF取最大值，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值，
并且A（，p），B（，-p），|AB|=2p．…（12分）