Question

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．
（Ⅰ） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ） 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer

（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．
（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）
则．…（6分）
（Ⅱ） X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，
所以，．…（9分）

X 1 2 3 4
P

…（11分）．…（13分）