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如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△P...

如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.

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(Ⅰ)由条件先证明四边形ABFD为正方形,由等腰三角形的性质证明PO⊥BD,由勾股定理求得PO⊥AO,从而证得PO⊥平面ABCD. (Ⅱ)过O分别做AD,AB的平行线,以它们做x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出 和  的坐标,由 可得 OE∥PF,从而证得OE∥平面PDC.  (Ⅲ) 设平面PDC的法向量为,直线CB与平面PDC所成角θ,求出一个法向量为,又,可得  和  夹角的余弦值,即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值. 【解析】 (Ⅰ)证明:设F为DC的中点,连接BF,则DF=AB.∵AB⊥AD,AB=AD,AB∥DC,∴四边形ABFD为正方形. ∵O为BD的中点,∴O为AF,BD的交点,∵PD=PB=2,∴PO⊥BD,…..(2分) ∵=,∴=,, 在三角形PAO中,PO2+AO2=PA2=4,∴PO⊥AO,…(4分)∵AO∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.    …(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知PO⊥平面ABCD,又AB⊥AD,所以过O分别做AD,AB的平行线,以它们做x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,如图所示: 由已知得:A(-1,-1,0),B(-1,1,0),D(1,-1,0)F(1,1,0),C(1,3,0), ,. 则,,,. ∴,∴OE∥PF,∵OE⊄平面PDC,PF⊂平面PDC,∴OE∥平面PDC.   …(9分) (Ⅲ) 设平面PDC的法向量为,直线CB与平面PDC所成角θ, 则,即,解得,令z1=1, 则平面PDC的一个法向量为,又, 则,∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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