Question

设函数f（x）=x-ae^x-1．
（I）求函数f（x）单调区间；
（II）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（III）对任意n的个正整数a₁，a₂，…a_n记A=
（1）求证：（i=1，2，3…n）（2）求证：A．

Answer

（I）根据已知中的函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，分类讨论导函数的符号，即可得到答案．
（II）根据（I）的结论我们易当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，当a＞0时，仅须函数的最大值小于0即可，由此构造关于a的不等式即可得到答案．
（III）（1）由（II）的结论我们可以得到f（x）=x-ex-1≤0恒成立，故（i=1，2，3…n）成立；（2）结合（1）的结论，我们分别取i=1，2，3…n，i=1，2，3…n，得到n个不等式，根据不等式的性质相乘后，即可得到结论．
【解析】
（I）∵函数f（x）=x-aex-1．
∴函数f′（x）=1-aex-1．
当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上是增函数
当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna，则f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，在区间（1-lna，+∞）上是减函数
综上可知：当a≤0时，f（x）在R上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，在区间（1-lna，+∞）上是减函数．
（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立
当a＞0时，f（x）在点x=1-lna时取最大值-lna，
令-lna≤0，则a≥1
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为[1，+∞）
（III）（1）由（II）知：当a=1时恒有f（x）=x-ex-1≤0成立
即x≤ex-1
∴
（2）由（1）知：，，…，
把以上n个式子相乘得≤=1
∴An≥a1•a2•…•an
故