Question

若椭圆x²+4（y-a）²=4与抛物线x²=2y有公共点，则实数a的取值范围是    ．

Answer

联立方程，将椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，转化为方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一个非负根，求出两根皆负时，实数a的取值范围，即可求得结论．
【解析】
椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y联立可得2y=4-4（y-a）2，
∴2y2-（4a-1）y+2a2-2=0．
∵椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，
∴方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一个非负根．
∴△=（4a-1）2-16（a2-1）=-8a+17≥0，∴a≤．
又∵两根皆负时，由韦达定理可得2a2＞2，4a-1＜0，∴-1＜a＜1且a＜，即a＜-1．
∴方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一个非负根时，-1≤a≤
故答案为：-1≤a≤