Question

设函数f （x）=ax ²+8x+3 （a＜0）．对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个 区间[0，l（a）]上，不等式|f （x）|≤5都成立．
问：a为何值时l（a）最大？求出这个最大的l（a）．证明你的结论．

Answer

利用配方法通过函数的最小值的讨论，求出最大值的表达式，通过对数不等式，求出最大的正数l（a）．
【解析】
f（x）=a（x+）2+3-．
（1）当3-＞5，即-8＜a＜0时，
l（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，故l（a）=．
（2）当3-≤5，即a≤-8时，
l（a）是方程ax2+8x+3=-5的较大根，故l（a）=．
综合以上，l（a）=
当a≤-8时，l（a）==≤=；
当-8＜a＜0时，l（a）==＜＜．
所以a=-8时，l（a）取得最大值．