Question

已知抛物线y ²=2px及定点A（a，b），B（-a，0），（ab≠0，b ²≠2pa）．M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M₁，M₂．
求证：当M点在抛物线上变动时（只要M₁，M₂存在且M₁≠M₂），直线M₁M₂恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．

Answer

利用A、M、M1共线，确定M1，M2的坐标，进而可得M1M2所在直线方程，分别令m=0，1代入，可得定点坐标，再验证一般性结论成立．
证明：设M（，m）．M1（，m1），M2（，m2），
则A、M、M1共线，得=，即b-m=．
∴m1=，同法得m2=；
∴M1M2所在直线方程为=，即（m1+m2）y=2px+m1m2．
消去m1，m2，得2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm．（1）
分别令m=0，1代入，得x=a，y=，
以x=a，y=代入方程（1）知此式恒成立．
即M1M2过定点（a，）