Question

对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②通径为8；
③过焦点的直线与抛物线交于两点的横坐标之积为4；
④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为6；
能满足抛物线y²=8x的条件是     （填序号）

Answer

由抛物线的定义与标准方程，分别设出各种情况下抛物线的标准方程y2=2px，根据题意建立关系式并解之，得p的值，从而可得抛物线的方程．由此方法，可得②③是符合题意的答案，而①④不符合题意．
【解析】
对于①，当抛物线焦点在y轴上时，方程形式是x2=2py或x2=-2py的形式，不可能是y2=8x，故①不正确；
对于②，过抛物线y2=2px的焦点F（，0）且与x轴垂直的直线，交抛物线于A（，y1），B（，y2）
由y2=2p×=p2，得|y1-y2|=2p=8，即抛物线的通径恰好为8，故抛物线y2=8x，符合题意，②正确；
对于③，设过抛物线y2=2px的焦点F（，0）的直线方程为y=k（x-）
由消去y，得k2x2-（2+k2）px+k2p2=0
设交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），得x1•x2=p2=4，解之得p=4
∴2p=8，得抛物线方程为y2=8x，符合题意，③正确；
对于④，设抛物线方程为y2=2px，点P（2，y）到焦点有距离等于6，
根据抛物线的定义得2+=6，得p=8，得抛物线方程为y2=16x，不符合题意，故④不正确．
故答案为：②③