Question

对于函数f（x）=x|x|+px+q现给出四个命题，其中所有正确的命题序号是（ ）
①q=0时，f（x）为奇函数              ②y=f（x）的图象关于（0，q）对称
③p=0，q＞0，f（x）有且只有一个零点  ④f（x）至多有2个零点．
A．①④
B．①②③
C．②③
D．①②③④

Answer

①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q的图象，易得f（x）的图象关于点（0，q）对称；
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，（x）=0的解为x=-；
④q=0，p=-1时方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3个零点．
【解析】
①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，
反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，
所以①正确．
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，
把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q
图象，易得f（x）的图象关于点（0，q）对称．
所以②正确．
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，
x＜0时，f（x）=0的解为x=-，故③正确．
④q=0，p=-1时方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=-1，
即方程f（x）=0有3个零点，
故④不正确．
故选B．