Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（1）求证：CD∥平面A₁EB；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁EB．

Answer

（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．证明EO∥CD．说明CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，即可证明CD∥平面A1BE．
（2）利用三棱柱各侧面都是正方形，然后证明CD⊥平面A1ABB1．证明EO⊥AB1．AB1⊥A1B，即可证明AB1⊥平面A1BE．
证明：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且．
又E是CC1中点，
则EC∥BB1且，即EC∥OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，
则CD∥平面A1BE．…（7分）
（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以BB1⊥平面ABC．
因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A1ABB1．
由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1．
所以EO⊥AB1．
因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．
又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，
所以AB1⊥平面A1BE．…（14分）