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阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+...

阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=B有manfen5.com 满分网
代入③得 manfen5.com 满分网
(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:manfen5.com 满分网
(Ⅱ)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=2sin2C,试判断△ABC的形状.
(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
(Ⅰ)通过两角和与差的余弦公式,令α+β=A,α-β=B有,即可证明结果. (Ⅱ)解法一:利用二倍角公式以及正弦定理,即可判断三角形的形状. 解法二:利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C,以及A+B+C=π, 推出2sinAcosB=0..得到△ABC为直角三角形 满分(12分). 解法一:(Ⅰ)因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,②…(2分) ①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.③…(3分) 令α+β=A,α-β=B有, 代入③得.…(6分) (Ⅱ)由二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C可化为1-2sin2A-1+2sin2B=2sin2C,…(8分) 即sin2A+sin2C=sin2B.…(9分) 设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理可得a2+c2=b2.…(11分) 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形.…(12分) 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C可化为-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2C,…(8分) 因为A,B,C为△ABC的内角,所以A+B+C=π, 所以-sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B). 又因为0<A+B<π,所以sin(A+B)≠0, 所以sin(A+B)+sin(A-B)=0. 从而2sinAcosB=0.…(10分) 又因为sinA≠0,所以cosB=0,即. 所以△ABC为直角三角形.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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