Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量为，进而可求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设，可得，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD．…（3分）
又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．
∴．…（6分）
设平面ACD的法向量为，则，∴
令x=1，得平面ACD的一个法向量为，
∴点M到平面ACD的距离．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．…（9分）
设，则N（2-2λ，2λ，0），
∴，
又∵平面ACD的法向量且直线AN与平面ACD所成角为60°，
∴，…（11分）
可得8λ2+2λ-1=0，
∴（舍去）．
综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时．…（13分）