Question

已知数列{a_n}是正项数列，其首项a₁=3，前n项和为．
（1）求数列{a_n}的第二项a₂及通项公式；
（2）设，记数列{b_n}的前n项和为K_n，求证：．

Answer

（1）由题设知，解得a2=4，由，n≥2，得，n≥3，由此能求出数列{an}的第二项a2及通项公式
（2）由Sn=n2+n+1，知=＜=，利用裂项求和法能够证明．
【解析】
（1）∵数列{an}是正项数列，其首项a1=3，
前n项和为，
∴，
∴3+a2=，
解得a2=4，或a2=-2（舍），
由，n≥2，
得，n≥3，
两式相减，得：，n≥3，
∴an-an-1=2，n≥3，
∴．
（2）∵Sn=n2+n+1，
∴=＜=，
∴kn≤
=
＜
＜．